W opisie maszyny Turinga strona fizyczna jest zredukowana do skrajnie schematycznego wyliczenia: pamięci, urządzenia czytającego i urządzenia piszącego, jednakowych w każdej maszynie. Tym, co maszyny różnicuje, jest strona logiczna. Jest nią, w najprostszym przypadku, pojedyncza formuła będąca przepisem na obliczanie jak "n+1" (dodawać 1 do kolejnych liczb naturalnych). Jest nią twierdzenie Pitagorasa czy wielkie twierdzenie Fermata itd. Oprócz takich wyspecjalizowanych, Turing zdefiniował maszynę uniwersalną, zdolną do zastąpienia wszystkich pozostałych. Turing argumentował, że maszyna Babbage'a, od strony fizycznej będąca dziełem ślusarzy (a napędzana maszyną parową), ma dokładnie te same potencje obliczeniowe, co maszyna zbudowana na elektromagnesach, na lampach elektronowych itd., a różnice są tylko w szybkości wykonywania obliczeń, co z teoretycznego punktu widzenia nie jest istotne. Ekstrapolując te obserwacje, dochodził do konkluzji, że strona fizyczna właściwa organizmom, w szczególności systemowi nerwowemu, nie wpływa na moc obliczeniową.

Innego zdania był von Neumann. Uważał on, że strona fizyczna mózgu decyduje o zasadniczej odmienności jego strony logicznej. Podczas gdy strona logiczna maszyny cyfrowej odpowiada językowi logiki i matematyki uformowanemu przez historyczny rozwój tych nauk, strona logiczna systemu nerwowego rządzi się innymi prawami. Ujął to następująco.

"Istnieją w systemie nerwowym struktury logiczne różne od tych, którymi się zazwyczaj posługujemy w logice i matematyce. [...] Tak więc logika i matematyka centralnego systemu nerwowego - jeśli rozpatrujemy je jako języki - muszą strukturalnie różnić się w istotny sposób od tych języków, które są nam dane w codziennym doświadczeniu. [...] Kiedy mówimy o matematyce, omawiamy, być może, język wtórny, zbudowany na języku pierwotnym, którym centralny system nerwowy posługuje się naprawdę". (Patrz The Computer and the Brain, 1958 r.).

Co więcej, strona logiczna systemu nerwowego nie tylko jest inna, ale dominuje nad tą, którą czerpiemy z logiki symbolicznej. Von Neumann doceniał wkład tej ostatniej w zrozumienie, jak działa system nerwowy; był pilnym czytelnikiem przełomowej w tym względzie pracy McCullocha i Pittsa A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity (1943 r.). Sądził jednak, że powyżej pewnego stopnia złożoności to nie neurobiolog będzie korzystał z dorobku logiki, ale logik z osiągnięć neurobiologii. Słowem, logika z informatyką będzie się wzorować na żywej przyrodzie. Pisał na ten temat, co następuje.

"Zachodzi pewna równoważność między zasadami logicznymi i ich fizycznym funkcjonowaniem w sieci nerwowej. Ale podczas gdy w prostszych przypadkach zasady te mogą dostarczyć pewnego uproszczonego opisu sieci, jest zupełnie możliwe, że w przypadku skrajnie wielkiej złożoności prawdą jest zależność odwrotna.

Potrzebujemy wprawdzie jakiejś nowej teorii, logicznej co do swej istoty, żeby zrozumieć automaty o bardzo wysokiej złożoności, a w szczególności centralny system nerwowy. Może być jednak tak, że w toku tego procesu logika przekształci się jakby w neurobiologię w znacznie większym stopniu niż ta druga w logikę". (Zobacz The general and logical theory of automata, 1951 r.)

Przy takich oświadczeniach nasuwa się pytanie, czy ten doskonalszy od elektronicznego system biologiczny pozostaje w gruncie rzeczy maszyną Turinga, tyle że sprawniejszą technicznie, niż inne jej realizacje, czy też ma większe od niej moce obliczeniowe. Trudno na to znaleźć odpowiedź u von Neumanna. Szkicuje on na gorąco hipotezy, poruszając się po gruncie absolutnie nowym. Książka The Computer and the Brain pozostała jako nie dokończony rękopis, nad którym pracował do ostatnich dni życia, wydany pośmiertnie przez żonę.

W tej sytuacji, w imię pouczającego eksperymentu myślowego, załóżmy, że system nerwowy jest maszyną Turinga, zaś symbole zapisywane na jej taśmie są elementami kodu neuronowego. Przy tym założeniu wróćmy do pytania, czy przyjęcie aksjomatów arytmetyki może być wynikiem procesu realizowanego przez maszynę Turinga; krócej - procesu Turinga.

Chodzi o proces dokonujący się w czyimś indywidualnym mózgu. Oto przykład. Niech stan, w którym maszyna zakończy pracę, będzie taki jak stan mózgu włoskiego matematyka Giuseppe Peano pewnego dnia roku 1889, kiedy to sformułował on po dziś dzień stosowaną aksjomatykę arytmetyki liczb naturalnych; od jego nazwiska teoria ta nazywa się arytmetyką Peano.

Nie musimy rozważać wszystkich jej aksjomatów; do ustalenia tezy weźmy pod uwagę jeden, mianowicie aksjomat indukcji matematycznej (dokładniej, schemat aksjomatu, ale nie musimy wchodzić w takie szczegóły). Powiada on, co następuje: jeśli jakąś własność ma zero oraz prawdą jest, że gdy ma ją jakakolwiek liczba, to ma ją też następnik tej liczby, wtedy własność ta przysługuje wszystkim liczbom. Aksjomat ten zakłada pojęcie nieskończonego zbioru liczb naturalnych.

Stan, w którym maszyna zakończy pracę, będzie taki, że w tkance nerwowej zostaną zapisane aksjomaty Peano nie mniej precyzyjnie niż my je zapisujemy w języku logiki symbolicznej. A jak sobie wyobrazić punkt wyjścia? Skorzystajmy z obserwacji etnologów (Lžvy-Bruhl), że istnieją ludy pierwotne, które mają nazwy tylko dla liczb 1 i 2, a wszystko to, co powyżej, określają słowami w rodzaju "mnóstwo". Potrzebne nam będzie imię typowego reprezentanta takiej umysłowości; niech nazywa się on Kali. Dzięki Sienkiewiczowi (W pustyni i w puszczy) mamy termin "etyka Kalego" dla nazwania etyki skrajnie prymitywnej. Analogicznie, niech arytmetyką Kalego nazywa się skrajnie prymitywny system liczenia ograniczony do dwóch. Załóżmy wreszcie dla dobra eksperymentu tę fikcję, że cała ewolucja, od arytmetyki Kalego do arytmetyki Peano, dokonuje się nie w wymiarze wielu pokoleń, ale dzieje się jako proces Turinga w jednym mózgu.

Ma więc Kali zapisane w jakichś komórkach swego mózgu ciągi symboli kodu neuronowego wyrażające to, co byśmy oddali zdaniami "istnieje jeden", "istnieje dwa". To są dane wejściowe. Mają być one poddane serii przekształceń, które doprowadzą do tego, że w tymże kodzie neuronowym zostaną zapisane aksjomaty Peano. Te przekształcenia będą dokonywane wyłącznie pod dyktando zapisanego w tymże mózgu programu. Oznaczmy go symbolem EKP (Ewolucja od Kalego do Peano).

Tu powstaje pytanie, jak EKP będzie uwzględniał przypadkowe bodźce zewnętrzne zależne od procesów dziejących się poza Kalim. Może np. zdarzy mu się w życiu spotykać bardzo często struktury trójelementowe, co mu nasunie pomysł liczby trzy, a potem jeszcze myśl uogólniającą, że trzy tak się ma do dwóch, jak dwa do jednego (stosunek następstwa)? Ale to może się nie zdarzyć, a zdarzyć co innego.

Czy EKP będzie wobec tego programem uwzględniającym wszystkie możliwe rozgałęzienia procesów we wszechświecie, tak żeby mózg Kalego (stopniowo przekształcający się w mózg Peano) był zdolny do odpowiednich przekształceń w każdym z takich możliwych światów? Problem zniknie, jeśli przyjąć, że przechodzenie do arytmetyki Peano dzieje się bez bodźców zewnętrznych; ale pod tak skrajnym aprioryzmem nie podpisałby się nawet Platon.

Czy możliwe jest odkrycie w czyimś mózgu procesu Turinga sterowanego przez EKP? Celem naszych rozważań było dojście do tego pytania. Odpowiedź w obecnym stanie wiedzy nie jest możliwa. Tym, co jest możliwe, to projektowanie badań, które by doprowadziły do wykrycia w mózgu czegoś takiego, jak program EKP. Trzeba w tych badaniach zidentyfikować symbole kodu neuronowego, to jest podać ich alfabet, oraz wykryć reguły transformacji prowadzące od stanu wyjściowego (np. arytmetyki Kalego) do zakończenia procesu (np. wypisania w kodzie neuronowym aksjomatów Peano).

Rozpoznanie takiego procesu byłoby milowym krokiem w nową epokę informatyki. Równie historycznym osiągnięciem byłoby odkrycie przeciwne: że dochodzenie przez umysł/mózg do aksjomatów nie redukuje się do procesu Turinga. Pozostaje zakończyć aktem wiary, którą osobiście żywi autor tego artykułu, że przyjdzie czas, w którym będziemy mieli dowód na jedno lub na drugie.