Ograniczenia demiurga

Rewelacja, a nawet wstrząs intelektualny, biorące się z wyników Gšdla, Churcha, Posta, Tarskiego oraz Turinga, polegały na odkryciu, że istnieją w matematyce problemy nierozstrzygalne w opisany mechaniczny sposób. Jest to odkrycie naukowe udokumentowane w stu procentach, nie budzące cienia wątpliwości.

Ale mimo pełnej zgodności w tym punkcie, gdy przychodzi do pytania, czy to ograniczenie dotyczy ludzkiego umysłu, uczestnicy debaty dzielą się na dwa radykalnie różniące się obozy. Po jednej stronie stołu zajmują miejsce Kurt Gšdel, Emil Post, Alfred Tarski (z Gšdlem w miejscu szczególnie poczesnym), a po drugiej ustawia się Turing, do którego dołącza liczna i dynamiczna grupa zwolenników. Co ich tak dramatycznie podzieliło?

Gšdlowcy (tak tu nazwani od postaci najbardziej eksponowanej) uważają, że wśród prawd, które nie są "dowodliwe" w sposób mechaniczny, czyli wykonalny dla maszyny Turinga, są takie, których prawdziwość umysł może rozpoznać bez użycia procedur mechanicznych. Niech jako przykład posłużą aksjomaty arytmetyki, choćby ten, że dla każdej liczby istnieje liczba o jeden większa. Aksjomaty z samej swej istoty nie podlegają dowodzeniu; maszyna nie dochodzi do nich w wyniku jakichś przekształceń, musi je mieć wpisane jako dane wejściowe. Ale człowiek wie, że są one prawdziwe; istnieją więc prawdy osiągalne dla człowieka, a nieosiągalne dla maszyny. Tyle gšdlowcy.

Na to pytają turingowcy: jakim prawem uznajecie aksjomaty arytmetyki za prawdziwe? Nie macie do tego podstawy, bo jedyną dopuszczalną naukowo podstawą byłoby ich udowodnienie przez maszynę.

Powstaje sytuacja dziwna, bo jeśli przyjąć stanowisko turingowców, to chcąc pozostać wiernym wymogom naukowości, nie powinniśmy się łudzić, że dojdziemy do jakiejkolwiek prawdy w matematyce. Każde przecież takie dochodzenie musi się zaczynać od aksjomatów. Z drugiej jednak strony, poszukiwanie prawdy jest największą siłą napędową nauki. Jak wyjść z tego impasu?

Zanim zajmiemy się sposobem wyjścia, popatrzmy na jeszcze jeden wniosek ze stanowiska turingowców. Skoro umysł ludzki nigdy nie ma gwarancji, że rozwiązał problem, o ile nie zachowuje się on jak maszyna Turinga, wzrasta kolosalnie rola informatyków jako znawców i konstruktorów takich maszyn. Zaufanie do jakiegokolwiek procesu umysłowego człowieka będzie pozostawać w zawieszeniu, o ile nie otrzyma się certyfikatu, że ów proces jest akceptowany przez

Turingowy automat. Jednocześnie konstruowanie coraz doskonalszych maszyn zwiększałoby kolosalnie moce obliczeniowe będące do dyspozycji człowieka. Istotnie więc zbiorowość informatyków byłaby czymś w rodzaju demiurga kierującego losem cywilizacji.

Powróćmy do dylematu: czy zaufać naszym ludzkim intuicjom prowadzącym do uznawania aksjomatów, czy zwątpić w nie, dlatego że nie wykazują się one certyfikatem, którym się szczycą maszyny Turinga? A może uda się zdobyć ów certyfikat na innej drodze? Choć aksjomat, inaczej niż twierdzenie dowodzone, nie jest wynikiem mechanicznego przetwarzania danych na papierze czy na dysku komputera, to może jest wynikiem przetwarzania danych w mózgu i może to przetwarzanie także podlega prawom maszyny Turinga? Wtedy w odkrywaniu aksjomatów nie byłoby nic twórczego (stąd, nie zasługującego na zaufanie); byłby to proces mózgowy wiarygodny, ponieważ mechaniczny (choć z mechaniczności nie zdajemy sobie sprawy, łudząc się, że mamy moce twórcze).

Jeśli to by się okazało prawdą, to demiurgowie informatyki zyskaliby domenę wpływów na miarę najśmielszych marzeń: mogliby ustawiać ludzkie mózgi, tak jak się ustawia do pracy maszyny. Czy się tak okaże? Z tym pytaniem wchodzimy na teren, który był wnikliwie badany przez von Neumanna.

Informatyk bierze korepetycje u przyrody

Von Neumann i Turing różnili się poglądem na stosunek hardware'u do software'u. Bagatelizowanie pierwszego z tych czynników przez Turinga, przy podkreślaniu decydującej roli drugiego, czyniło go niewrażliwym na różnice między, powiedzmy, układem lamp elektronowych a mózgiem. Dla von Neumanna natomiast, jak zobaczymy, była to różnica fundamentalna. Wyrażało się to w jego koncentracji na zagadnieniach struktury mózgu zdolnej, jak sądził, realizować logikę potężniejszą niż ta uprawiana za pomocą symboli. Wtedy informatyk, choć obdarzony demiurgiczną mocą, musiałby wiele się uczyć od superdemiurga, którego dziełem jest mózg, czyli od przyrody.

Zanim przejdziemy do sedna sprawy, trzeba wprowadzić polskie odpowiedniki dla terminów "hardware" i "software", tak nieznośnych w deklinacji (spróbujmy np. wołacza: "O hardware'rze!"?). W obecnym kontekście, nie zamierzając agitować innych, będę oddawał rzecz terminami STRONA FIZYCZNA i STRONA LOGICZNA. Jeśli Czytelnik zdoła bez trudu ustalić przyporządkowania do terminów angielskich, będzie to znak, że wybór nie jest najgorszy.

Zastąpienie "software" "stroną logiczną" ma dobre uzasadnienie teoretyczne, gdyż program komputerowy wykazuje ścisłą analogię z dowodem sformalizowanym, tj. wykonanym wiernie według reguł logiki symbolicznej. Widać to przejrzyście w programach na wykonywanie działań arytmetycznych. Obliczyć, że dwa i dwa równa się cztery, to w gruncie rzeczy przeprowadzić dowód tego twierdzenia na podstawie aksjomatów arytmetyki. Program zaś jest instrukcją dla takiego dowodu.