Aby te trudne sprawy przybliżyć, w szkicu "Kolęda o maszynie cyfrowej" (nr 4 CW z 25 stycznia 1999 r.) umieściłem rymowane strofki, odpowiadające trzem działom logiki. Skomentowałem tam szerzej pierwszą, powtórzę więc tylko jej główną myśl. Oto, gdy monarchowie niosą złoto, logicy oferują coś cenniejszego.

Mędrcy świata, logikowie

nie trza złota, srebra

by zabłysła w każdej głowie

LOGIKI ALGEBRA.

Chodzi o algebrę Boole'a, według której praw okazały się funkcjonować obwody elektryczne i pewne układy w mózgu. W tej abstrakcyjnej algebrze rozważa się pewien skończony zbiór prostych elementów, na których są wykonywane określone operacje. Gdy elementami są prawda i fałsz jako własności zdań, mamy do czynienia z algebrą logiczną zwaną rachunkiem zdań. Jest ów rachunek przewodnikiem w rozumowaniach tak niezawodnym, że wychodząc z prawdziwych przesłanek nie pobłądzi się nigdy we wnioskach. Zadziwiająca jest ekonomia jego systemu pojęciowego; wystarczy wziąć słówko przeczące "nie" i spójnik "jeśli, to" (mające odpowiedniki w algebrze Boole'a), a da się na tym zbudować rachunek logiczny dotyczący związków między zdaniami.

Niestety, inaczej niż betlejemska, gwiazda algebry zdań kieruje naszymi krokami tylko do pewnego miejsca (w którym kończyły się też możliwości logiki Arystotelesa). Logika powstająca z algebry Boole'a nie radzi sobie tam, gdzie ma się do czynienia z obiektami wchodzącymi między sobą w relacje. Rozważmy prosty przykład relacji zachodzącej w zbiorze wszystkich liczb całkowitych:

"Dla każdej liczby istnieje liczba od niej większa".

Zdanie to mówi zarazem, że liczb jest nieskończenie wiele, choć nie występuje w nim przymiotnik "nieskończony". Zwroty wskazane kursywą są tak ważne, że zalicza się je do podstawowych pojęć logicznych i wyróżnia specjalnym terminem: kwantyfikatory. Pierwszy nazywa się ogólnym, drugi egzystencjalnym.

Gdy do operacji algebraicznych rachunku zdań dołączyć kwantyfikatory, tak powstały system, zwany logiką kwantyfikatorów, jest nadal imponująco prosty, zamyka się w kilku pojęciach, nabiera jednak niezwykłej mocy jako narzędzie rozumowania. Można w nim, gdy doda się pojęcie zbioru, wyrazić wszystkie prawdy matematyczne i zapisać każde rozumowanie w symbolice tak precyzyjnej, że po zakodowaniu cyfrowym staje się językiem komputera. Toteż logika kwantyfikatorów jest niezastąpionym narzędziem strzegącym poprawności rozumowań, a więc porządku myślowego.

Mędrcy świata, logikowie

cudne tworzym wzory

by porządku strzegły w głowie

KWANTYFIKATORY.

Jest jednak cena, którą trzeba płacić za wejście w rewiry nieskończoności. Nie da się już (jak się daje w algebrze zdań) budować skończonej liczby kombinacji elementów, żeby po ich przejrzeniu znaleźć tę właściwą, która gwarantuje niezawodność rozumowania. Wprawdzie wymyślono bardzo dowcipną metodę, która pozwala pozbyć się kwantyfikatorów i tym sposobem niemal odzyskać pierwotną prostotę algebraiczną, ale taki cud redukcji do skończoności też ma swoje koszty. Mianowicie, w pewnych przypadkach procedura rozumowania jakby się zapętla. Robimy wciąż nowe kroki, a końca nie widać, i tak stajemy przed dylematem, czy przerwać pracę, czy też kontynuować, w nadziei, że procedura wreszcie "zaskoczy".

Takie rozumowanie przestaje być efektywne. A że rozumowanie jest rodzajem obliczania, co widać "gołym okiem", gdy je zakodować cyfrowo w komputerze, mamy tu do czynienia z problemem z teorii efektywnej obliczalności (najwyższe piętro logiki matematycznej, a zarazem fundament informatyki).