Matematyka i metafizyka

Na kształt nowoczesnej informatyki składa się w niemałej części dorobek myślicieli sprzed wieków. Tym, który położył podwaliny pod stosowany dzisiaj w informatyce system binarny, był żyjący na przełomie XVII i XVIII w. Leibniz.

Na kształt nowoczesnej informatyki składa się w niemałej części dorobek myślicieli sprzed wieków. Tym, który położył podwaliny pod stosowany dzisiaj w informatyce system binarny, był żyjący na przełomie XVII i XVIII w. Leibniz.

Paradygmat uczestnictwa we współczesnym świecie jest wyznaczony przez informatykę i jej zastosowania. Warto jednak postawić sobie pytanie, kiedy i gdzie w historii zrodziły się idee kształtujące naszą dzisiejszą codzienność. Jedna z odpowiedzi prowadzi nas do Gottfrieda Wilhelma Leibniza, wielkiego niemieckiego filozofa i matematyka żyjącego w latach 1646-1716.

Leibniz był chyba ostatnim z tych myślicieli, którzy jeszcze ogarniali całość wiedzy. Stworzył przynajmniej dwie rzeczy istotne dla współczesnego świata: rachunek różniczkowy i całkowy oraz system binarny. Co prawda twórcą rachunku różniczkowego i całkowego był również Isaac Newton, ale rachunek ten przyjął się jednak i rozwinął w wersji Leibniza. Stworzony został ok. 1673 r. Notacja, którą posługujemy się do dzisiaj, pochodzi z 1679 r. Bez tzw. rachunku wielkości nieskończenie małych nie do pomyślenia jest współczesna fizyka i inżynieria. Choć rachunek ten jest istotny dla rozwoju informatyki, to jednak tylko w takim samym stopniu, jak dla każdej innej nauki matematycznej i inżynierii. Dla samej informatyki istotne znaczenie ma natomiast wynalazek systemu binarnego.

Matematyka i metafizyka

Leibniz był przekonany, że świat urządzony jest zgodnie z zasadami matematyki. Myśl tę wyraził skrótowo w notatce zamieszczonej na marginesie jednej ze swoich prac - "Cum Deus calculat et cogitationem excercet, fit mundus". Matematyka jest, jego zdaniem, nie tylko narzędziem Konstruktora świata, lecz również tworzywem, z którego świat jest stworzony. Poznanie urządzonego matematycznie świata może więc dokonać się na drodze matematycznej. Leibniz, podobnie jak wcześniej Thomas Hobbes, żywił przekonanie, że każde ludzkie rozumowanie może być przekształcone tak, że stanie się przedmiotem rachunkowego obliczenia. W ten sposób każda, nawet najbardziej kontrowersyjna prawda stanie się tak oczywista jak 2 + 2 = 4.

Ważne z punktu widzenia rozwoju informatyki jest stwierdzenie, że rachowanie jest czynnością, w której maszyna może zastąpić człowieka. "Ponieważ nie godzi się, aby znakomici ludzie tracili godziny jak niewolnicy w pracy obliczeniowej, która mogłaby być bez obawy przekazana komuś innemu, gdyby zastosować maszynę" - pisał filozof w 1685 r. Ten pragmatyczny argument w połączeniu z poprzednimi argumentami natury metafizycznej do dzisiaj stanowi inspirację rozwoju informatyki i jej narzędzi, w szczególności w kierunku sztucznej inteligencji.

Sukces komputera jako uniwersalnej maszyny przechowującej i przetwarzającej informację zależy od tego, czy istnieje uniwersalny język, w którym można zapisywać różnego rodzaju informacje i czy dla tego języka istnieje mechaniczny sposób jego przetwarzania. O takim języku w istocie marzył Leibniz - chodzi o język będący zarówno lingua characteristica, umożliwiający perfekcyjny opis

wiedzy przez ukazanie "rzeczywistego charakteru" pojęć i rzeczy, oraz calculus ratiocinator, czyli rachunek dający możliwość mechanistycznego odwzorowania ludzkiego rozumowania. Leibniz jest pomysłodawcą takiego właśnie języka w postaci systemu binarnego oraz konstruktorem maszyny liczącej, która stanowiła praktyczny wyraz wiary myśliciela w możliwość realizacji jego intelektualnych poszukiwań i teoretycznych rozważań.

Jedność z przeciwieństw

Leibniz był pierwszym matematykiem, który starannie zbadał własności systemu binarnego. W wielu tekstach i listach pisanych w latach 1679-1697, a więc przez osiemnaście lat, rozwijał notację i rozwiązywał kwestie wykonywania operacji arytmetycznych w tym systemie. Leibniz nie był jednak pierwszym myślicielem i matematykiem zafascynowanym systemem dwójkowym. Dla Philolausa (ok. 480-405 p.n.e.), pitagorejczyka, system binarny był podstawą jego filozofii zbudowanej na opozycji: skończone - nieskończone. System binarny został również opisany przez Pingala (V lub II w. p.n.e.). Jego tekst jest pierwszym znanym opisem systemu binarnego. Dokonał tego w związku z badaniami nad metryką wedyjską krótkich i długich sylab. System binarny mieli znać także starożytni Egipcjanie i Chińczycy.

Najstarszym dokumentem systemu binarnego w Europie jest kartka papieru z ok. 1600 r. z zestawieniem wartości binarnych pierwszych 31 liczb sporządzonym przez Thomasa Hariota. Natomiast sam Leibniz za swojego poprzednika wskazuje Abdallaha Beidhawy'a, arabskiego uczonego, żyjącego w XIII w.

Idea systemu dwójkowego rodzi się w głowie Leibniza od 1666 r., gdy powziął pomysł stworzenia rachunku logicznego. Jako nastolatek został wprowadzony w system logiki arystotelesowskiej. To ona rozbudziła jego geniusz matematyczny i fascynację matematyką. Arystotelesowski podział pojęć na kategorie naprowadził go na pomysł języka, który będzie przemawiał nie słowami, lecz pojęciami. Język z takim alfabetem powinien umożliwiać rachunkowe obliczanie, które zdania są prawdziwe, a które nie. Leibniz pozostawał pod urokiem Arystotelesa, zaś idea rachunku logicznego pasjonowała go do końca życia.

System dwójkowy został wynaleziony przez Leibniza ok. 1679 r., kiedy to napisał "De progressione dyadica". W pracy tej analizuje on możliwości tego systemu oraz pokazuje, jak wykonywać podstawowe operacje arytmetyczne: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Wyraża tam też przekonanie, że pewnego dnia w przyszłości maszyny będą używać systemu binarnego. Jego idea nie wzbudziła jednak zainteresowania współczesnych i była ignorowana przez ówczesny świat nauki. Leibniz wrócił do systemu binarnego w związku ze studiami nad I~Ching (lub Yijing), chińską "Księgą przemian".

Chinami zainteresował się dość wcześnie. Korespondował z Joachimem Bouvetem (1656-1730), misjonarzem katolickim, jezuitą. Jezuici mieli nadzieję na nawrócenie Chińczyków na chrześcijaństwo poprzez wskazywanie tego, co wspólne chrześcijaństwu i chińskiej starożytnej teologii. W zamysł ten dobrze wpisywał się Leibniz, który chciał wykazać zgodność wszelkiej wiedzy i wynalazków. Szukał on też informacji o pozaeuropejskich językach, mając na uwadze stworzenie języka uniwersalnego. Bouvet podjął studia nad I~Ching, postrzegając ten tekst jako brakujące ogniwo pomiędzy obiema religiami. Leibniz przesłał Bouvetowi szkic swojego systemu binarnego. W zamian otrzymał heksagramy przypisywane Fu Xi, mitycznemu pierwszemu cesarzowi Chin i legendarnemu wynalazcy pisma chińskiego. Wkrótce potem, w 1703 r., przedstawił do publikacji "Explication de l'arithm'etique binaire, qui se sert des seuls caract`eres 0 et 1, avec des remarques sur son utilit'e, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures Chinoises de Fohy" (Wyjaśnienie arytmetyki binarnej, korzystającej wyłącznie z cyfr 0 i 1, z uwagami o jej użyteczności i znaczeniu, jakie daje dawnym chińskim rysunkom Fuxi).

Leibniz przeceniał jednak rolę starożytnych Chińczyków w wynalezieniu systemu dwójkowego. Faktycznie heksagramy pochodzą od filozofa Shao Yonga (1011-1077), z jego dzieła "Huangji jingshi shu" ("Księga o wzniosłej zasadzie, która rządzi wszystkimi rzeczami tego świata"). Buddyjska doktryna Ying oraz Yang opiera się na "binarnej" zasadzie, według której skonstruowany miałby być świat. Shao i Leibniz mieli tę samą wizję świata jako stworzonego zgodnie z systemem binarnym, co ich zdaniem ma odzwierciedlenie we wszystkich rzeczach i jest zauważalne w istocie ludzkiej. Diagramy były używane przez Shao w sposób przypominający podstawowe zagadnienia Leibnizjańskiej filozofii nauki. Shao nie posunął się jednak dalej w kierunku rozumienia swoich diagramów jako systemu liczbowego. Powodem było jego przekonanie, że ścisłe myślenie naukowe było zgubne i szkodliwe duchowo. Stworzenie spójnego systemu binarnego było w pełni zasługą samego Leibniza.

Doskonałość dwójki

Samo liczenie na pary jest powszechne i znane nawet ludom pierwotnym, jak choćby Aborygenom. Kodem binarnym posługują się też Murzyni w buszu stosując do komunikowania tam-tamy. Istota odkrycia Leibniza polega nie na tym, że można liczyć dwójkami, lecz na odkryciu systemu dwójkowego i opisaniu jego własności. Zrobił to przez analogię z systemem dziesiętnym. Znając system dziesiętny miał pojęcie systemu liczbowego i wiedział, na czym polega pozycyjny zapis liczb. Według tych samych zasad opisał system dwójkowy, czego nikt wcześniej przed nim nie dokonał.

Chociaż sam Leibniz nie był pierwszym, który eksperymentował z liczbami binarnymi, czy w ogóle zajmował się kwestią systemu pozycyjnego, to budując system dwójkowy stworzył jednocześnie nowe możliwości rozwoju nauki i techniki. Pasjonujące jest to, że w rozważaniach dotyczących systemu dwójkowego przeplata wiele intelektualnych wątków, idei i pomysłów pochodzących z różnych kultur i różnych wizji świata - nie tylko naukowych, lecz także teologicznych i mistycznych, dotyczących idei porządku i harmonii świata czy aktu jego stworzenia.

Leibniz tak tłumaczy przewagę systemu dwójkowego - "Zamiast ciągu geometrycznego na bazie dziesięciu, przez wiele lat stosowałem najprostszy ze wszystkich ciągów, a mianowicie na bazie dwóch, uznając, że przyczynia się to do doskonałości nauki o liczbach. Nie używam więc cyfr innych niż 0 i 1, a zatem dochodząc do dwóch zaczynam od początku". Leibniz wskazuje na praktyczne wykorzystanie systemu binarnego w ważeniu i jego zastosowanie w systemie monetarnym. Stawia pytanie o najmniejszą liczbę odważników potrzebnych do zważenia dowolnego ciężaru i najmniejszą liczbę monet, za pomocą których można by było rozliczyć dowolną kwotę. W oparciu o to, że w zapisie binarnym każda liczba jest sumą wzajemnie różnych liczb, z których każda jest potęga dwójki, dowodzi, że właśnie potęgi liczby dwa wyznaczają potrzebne odważniki i - odpowiednio - nominały. Na przykład dla zważenia wszystkich ciężarów o wadze do 15 jednostek wystarczą tylko cztery odważniki, a mianowicie 1, 2, 4, 8.

Kolejną zaletą systemu dwójkowego w opinii Leibniza jest łatwość wykonywania operacji arytmetycznych. Operacje są wtedy tak proste, że nigdy nie musimy zgadywać albo postępować metodą prób i błędów, co ma miejsce w przypadku zwykłego dzielenia. Nie zaleca jednak rezygnacji ze zwyczajnej praktyki stosowania systemu dziesiętnego i to nie tylko dlatego, że nie jest łatwo zrezygnować z czegoś, do czego jesteśmy przyzwyczajeni, ale dlatego, że w zapisie dziesiętnym liczby nie są tak długie jak w dwójkowym.


TOP 200