Matematyka i metafizyka
-
- Kazimierz Trzęsicki,
- 23.01.2006
Leibniz miał również motywację metafizyczną. W 1697 r. wraz z życzeniami urodzinowymi do swego protektora księcia Augusta z Brunszwika przesłał list, w którym omawia system binarny i ideę stworzenia z 0 jako nicością i 1 oznaczającą Boga. Tłumaczył: "Wszystkie kombinacje powstają z jedności i nicości, co jest podobne temu, gdy mówi się, że Bóg uczynił wszystko z niczego i że były tylko dwie zasady - Bóg i nicość".
W komputerach system binarny znalazł zastosowanie dlatego, że łatwiej jest zbudować bramki logiczne dla dwóch stanów zamiast np. dla dziesięciu, co byłoby wymagane dla systemu dziesiętnego. W systemie dwójkowym urządzenie do wykonania dodawania musi uwzględniać cztery wypadki: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1. W przypadku systemu dziesiętnego, jak można policzyć, urządzenie musiałoby radzić sobie ze 100 wypadkami, co oczywiście komplikowałoby je technicznie. Podobnie jest z mnożeniem. Choć "przekład" na system dziesiętny, którym posługuje się użytkownik, zajmuje czas i pamięć komputera, to jednak mimo to bilans przemawia za systemem binarnym (choć w Związku Radzieckim podejmowano próby zbudowania komputera działającego w oparciu o system trójkowy).
Leibniz chciał, aby język uniwersalny (lingua characteristica) umożliwiał nadanie prawom logiki charakteru reguł rachunkowych. Język ten - jak sądził - byłby nieskończenie różny od wcześniej projektowanych, a to dlatego, że jego symbole, a nawet wyrazy kierowałyby bezpośrednio rozumem i tym samym błędy, poza dotyczącymi faktów, miałyby miejsce tylko w rachunku. Choć język taki jest trudno wynaleźć, to byłoby bardzo łatwo rozumieć go bez żadnych słowników. Miałby to być system znaków nie tylko realny, lecz również obejmujący całość ludzkiej myśli. W liście do matematyka G. F. L' Hospitala Leibniz pisał - "Część sekretu algebry zawiera się w charakterystyce, tj. w sztuce właściwego użycia wyrażeń symbolicznych. Troska o właściwe użycie symbolu byłaby nicią Ariadny, która prowadziłaby badaczy w tworzeniu tej charakterystyki".
Uniwersalny język
Współcześnie kod binarny okazał się uniwersalnym kodem, w którym zapisujemy wszystko to, co daje się zapisać. Już nie tylko liczby, lecz również teksty, a nawet obrazy i muzykę (aczkolwiek pomysł mechanicznego kodowania muzyki jest bardzo dawny - stosowany był choćby w katarynkach, które Babbage, jeden z twórców informatyki i konstruktor pierwszego uniwersalnego komputera, maniakalnie zwalczał, chodząc po ulicach Londynu). Kod binarny jest językiem uniwersalnym, stosuje się bowiem nie tylko do jednego, konkretnego języka, lecz do każdego języka bez wyjątku. Kodem tym zapisany jest niniejszy tekst w wersji elektronicznej. Kodem tym można zapisać teksty nie tylko w języku polskim, lecz także w każdym innym.
Co takiego można by uznać za szczególną zasługę Leibniza, jeśli mieć na uwadze sprawę binarnego kodowania? Chyba właśnie to, że dostrzegł systemowy charakter kodu binarnego, a więc możliwość wykonywania na nim operacji - zarówno arytmetycznych, co sam opisał, jak i logicznych, co uczynił Boole. Swoim przekonaniem, że wszystko jest stworzone z 0 i 1 antycypował to, czego jesteśmy dzisiaj świadkami - że wszelka informacja daje się zapisać binarnie. Jego teza ontologiczna o świecie jako stworzonym przez 1 za pomocą 0 otworzyła nowe perspektywy dla połączenia systemu informacji z metafizyką. Ta właśnie koncepcja, że wszystko daje się stworzyć z 0 i 1 jest powodem, dla którego twórca algorytmicznej teorii informacji Chaitin proponuje, pół żartem, pół serio, nazwać podstawową jednostkę informacji nie jako "bit", lecz "leibniz".
Po Leibnizu w 125 lat później George Boole (1815-1864) stworzył dwuwartościową algebrę, zwaną dziś algebrą Boole'a. Znaczenie pomysłu Boole'a polega na tym, że dla kodu binarnego zbudował logiczny system algebraiczny. Leibniz marzył o rachunku logicznym i opisywał liczbowy system binarny. Nie on jednak stworzył logiczną algebrę dwuwartościową. Jest to zasługa Boole'a. Zastosowania algebry Boole'a były przedmiotem studiów Claude Shannona, w szczególności w jego pracy magisterskiej "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits". Praca Shannona zapoczątkowała praktyczne projektowanie obwodów cyfrowych w oparciu o zasady algebry Boola. Można powiedzieć, że Shanon zaimplementował algebrę Boola w obwodach elektrycznych. Binarne kodowanie postrzegano wówczas jako w zasadzie narzędzie matematyczne. Shannon nadał mu więc nowy wymiar, skojarzył pomysły Boole'a z technologią.
Pożytki płynące z algebry Boola w pełni zostały dostrzeżone wraz z nadejściem ery nowoczesnych komputerów. Z algebry Boola korzystamy dzisiaj na co dzień. Kiedy poszukujemy danych w Internecie, stosujemy operatory NO, OR, AND w ich boolowskim znaczeniu. U podstaw tego wszystkiego leży jednak myśl - zarówno filozoficzna, naukowa, jak i techniczna - Gottfrieda Wilhelma Leibniza, który w swych rozważaniach naprawdę daleko wyprzedził swój wiek.
Prof. Kazimierz Trzęsicki kieruje Katedrą Logiki, Informatyki i Filozofii Nauki w Instytucie Informatyki Uniwersytetu w Białymstoku.
Leibniz marzył o maszynie do rachowania. Rachowane zaś miały być nie tylko liczby, ale również argumenty. Cała wiedza miałaby być wyrażona w specjalnym języku, a reguły rachunkowe wystarczałyby dla określenia relacji logicznych. Człowiek uwolniony od rachowania miałby poświęcić się myśleniu twórczemu. Mimo swego optymizmu był przekonany, że sam takiemu zadaniu nie podoła. Wierzył jednak, że niewielka liczba zdolnych współpracowników mogłaby osiągnąć ten cel w kilka lat.
W 1673 r. na podstawie okazania prototypu maszyny liczącej wykonującej cztery operacje arytmetyczne Leibniz został jednogłośnie wybrany do the Royal Society of London. Wcześniejsza maszyna Pascala tylko dodawała i mnożyła. W 1674 r. Leibniz opisał maszynę, która mogła być użyta do rozwiązywania równań algebraicznych.
Pięć lat później Leibniz przedstawił pomysł komputera wykorzystującego binarną arytmetykę. Binarne liczby były w nim reprezentowane przez kulki, które były sterowane przez dziurkowaną kartę. Kiedy pominiemy jako nieistotne, z czego są wykonane kulki, karta i jaka energia jest wykorzystana, to można powiedzieć, że ten pomysł Leibniza został zrealizowany we współczesnych komputerach (tyle tylko, że różnice napięć i elektrony przejęły role siły grawitacyjnej i kulek).
Skonstruowaną przez siebie maszynę opisał Leibniz w 1685 r. w manuskrypcie pod tytułem "Machina arithmetica in qua non additio tantum et subtractio sed et multiplicatio nullo, divisio vero paene nullo animi labore peragantur". Pisał, że kilka lat wcześniej widział urządzenie do automatycznego zapisywania liczby kroków. Doszedł wówczas do przekonania, że cała arytmetyka mogłaby być poddana podobnego rodzaju maszynie, która by nie tylko odliczała, lecz również dodawała, odejmowała, mnożyła i dzieliła, czyniąc to łatwo i szybko. W konstrukcji Leibniza, którą określał jako "licznik krokowy", wykorzystano fakt, że mnożenie jest po prostu wielokrotnym dodawaniem.
Na strychu w Getyndze zachował się oryginał przyrządu. Odnaleziono go dopiero w drugiej połowie XIX w. Nie jest jasne, czy zostały wykonane więcej niż dwa prototypy. Jeden spośród skonstruowanych przez siebie egzemplarzy Leibniz dał Piotrowi Wielkiemu, by ten przekazał go cesarzowi Chin, by uświadomić mu poziom techniczny Europy jako potencjalnego partnera handlowego.
Jedno z rozwiązań, zwane kołem Leibniza, było bardzo pomysłowe i weszło do powszechnego użycia w mechanicznych maszynach liczących aż do XX w. Koło to było przekładnią ze zmienną liczbą zębów. Liczby były "zapisywane" na kołach. Operacje arytmetyczne dokonywane były w wyniku obracania kół, co wymagało specjalnych ustawień. Obroty dokonywane były za pomocą wielkiego koła (magna rota). Urządzenie składało się z części ruchomej i nieruchomej. Odejmowanie dokonywało się przez kręcenie w kierunku odwrotnym do kierunku, na którym dokonywało się dodawanie, a np. trzykrotny obrót dawał iloczyn ustawionej liczby przez 3. Z rozwiązania Leibniza korzystał Charles Xavier Thomas de Colmar, który w 1882 r. skonstruował arytmometr, produkowany na skalę masową i sprzedawany przez 90 lat. Maszyna Leibniza była oparta na systemie dziesiętnym. Mimo że preferował on system binarny, musiał przyjąć rozwiązanie oparte o system dziesiętny ze względu na długość zapisu binarnego, co - jak łatwo zauważyć - było istotnym problemem w przypadku "komputerów" mechanicznych.
O swojej maszynie Leibniz pisał - "A teraz, dając końcową pochwałę maszyny, możemy powiedzieć, że będzie ona pożądana przez wszystkich, którzy zajęci są obliczeniami, co jak dobrze wiadomo, dotyczy zarządców spraw finansowych, administratorów cudzych majątków, kupców, rzeczoznawców, geografów, nawigatorów, astronomów... Ograniczając się jednak do zastosowań naukowych, dawne tablice geometryczne i astronomiczne mogłyby być poprawione, a nowe utworzone, za pomocą których można by było mierzyć wszystkie rodzaje krzywych i figur... to zaowocowałoby rozszerzeniem tak jak to jest możliwe głównych tablic pitagorejskich; tablicą kwadratów, sześcianów i innych potęg; oraz tablicami kombinacji, wariacji i ciągów wszystkich rodzajów... Także astronomowie nie musieliby nadwyrężać cierpliwości, która jest wymagana dla obliczeń... Ponieważ nie godzi się, aby znakomici ludzie tracili godziny jak niewolnicy w pracy obliczeniowej, która mogłaby być bez obawy przekazana komuś innemu, gdyby zastosować maszynę".
Pomysł maszynowego "myślenia" zapisanego uniwersalnym językiem matematyki binarnej realizowany jest przez współczesną informatykę. Zastosowania informatyki zmieniają nasze życie tak, jak tego chciał Leibniz, gdy pisał, że będzie to ostatnim wysiłkiem ludzkiego ducha, bowiem gdy projekt będzie zrealizowany, to człowiek będzie dysponował narzędziem powiększającym możliwości rozumu tak jak teleskop, który uzdalnia widzenie, zaś ludzie będą się już troszczyć tylko o to, aby być szczęśliwi.
