Tuż przed Bożym Narodzeniem 1998 r. otworzyłem w Internecie Klub Dyskusyjny 'Omega', zapraszając doń kolegów logików i tych, którzy głowią się nad zagadką, jak maszyna cyfrowa ma się do inteligencji. W liście inauguracyjnym umieściłem powyższą 'kolędę' nawiązującą do wędrówki trzech magów. Oto, wedle kolędy, pierwszy z trzech etapów wprowadzenia w logikę, a zarazem w wiedzę z podstaw maszyn cyfrowych.

Słowo ,,algebra" ma piękną historię. Ponad tysiąc lat temu urodził się w Chorezmie (w dzisiejszym Uzbekistanie) największy matematyk średniowiecza "Alchwarizmi", co znaczy pochodzący z Chorezmu. Pisał w jęz. arabskim, a tytuł jego poczytnego dzieła zapowiadał, iż traktuje ono o rozwiązywaniu równań. Jeden z członów tego tytułu brzmiał: aldżabr, co przeszło w ,,algebra". Imię autora dało zaś początek sławetnemu terminowi wyrażającemu dziś pojęciu algorytmu.

W tamtych zamierzchłych czasach słowo ,,algebra" oznaczało po prostu naukę o rachowaniu. Bardziej specyficznego sensu nabrało, odkąd Francois Vite (1540-1603) wprowadził symbole zmienne. Wtedy zaczęto odróżniać obliczenia arytmetyczne dokonywane na konkretnych liczbach (analytica numerosa) od obliczeń posługujących się formułami ze zmiennymi. Symbol zmienny reprezentuje pewną klasę (species) liczb, algebra więc przez jakiś czas nosiła miano analytica speciosa; miało to sympatyczną dwuznaczność, bo speciosa znaczy w łacinie także piękna, a urok tego rachunku istotnie robił wrażenie na ówczesnych matematykach.

Algebra rozrastała się w wiekach XVII i XVIII, zaczęła też wchodzić w pierwsze związki z logiką (u Leibniza i innych), ale przenieśmy się od razu w wiek XIX. Wtedy jej ewolucja weszła w fazę zapowiadającą wiek logiki matematycznej i komputerów. Po Arabach, Francuzach i Niemcach, tym razem bohaterami naszej historii są algebraicy brytyjscy, a szczególnie pewien Irlandczyk, którego nazwisko tkwi dzisiaj w samym rdzeniu informatyki. Każdy informatyk zna termin: Boolean, odnoszący się do fundamentalnych operacji, a bierze się on od George Boole'a (1815-1864).

G. Boole konsekwentnie rozwinął myśl kolegów, iż algebra tym się różni od innych działów matematyki, że jest jakby o niczym (gdy geometria jest o tworach przestrzennych, arytmetyka o liczbach itd.). To znaczy uprawia się ją w taki sposób, że jej symbolom zmiennym nie przypisuje się żadnej konkretnej dziedziny matematycznej, a dopiero w wyniku nadania im interpretacji, a więc na etapie zastosowań algebry, nabierają one znaczenia.

Zauważmy, jak takie podejście pasuje do komputera. On nie może tekstów rozumieć. Operuje tylko na dostarczonych mu łańcuchach znaków, przerabiając je na inne łańcuchy według otrzymanego zbioru instrukcji (programu).

Logicy XX wieku poszli tropem Boole'a jeszcze dalej, rozszerzając to skrajnie formalistyczne podejście na całą matematykę. Powiedzieli tak: - My wiemy, że arytmetyka jest o liczbach, geometria o punktach, liniach itd., ale udawajmy czasem, iż tego nie wiemy, traktując te teorie jako czystą manipulację na symbolach, jak gdyby abstrakcyjną grę w rodzaju szachów.

W tym szaleństwie jest metoda, jakby powiedział Szekspir. Metoda genialna, bo tylko dzięki niej można było dojść do zrozumienia ograniczeń języka czysto formalnego, pozbawionego jakichkolwiek znaczeń, podatnego wyłącznie na manipulacje na symbolach traktowanych jako obiekty fizyczne. Tych ograniczeń więc, którym podlegają komputery. Dzięki temu można postawić pytanie, czy podlegają im także umysły ludzkie - a jest to pytanie kluczowe w projekcie sztucznej inteligencji.

Pokrewieństwa między algebrą Boole'a, komputerem a umysłem

Termin ,,algebra" pokrywa rozległą klasę systemów, które mają ową neutralność znaczeniową, charakterystyczną także dla systemów znakowych, obrabianych przez komputer (gdy patrzeć na rzecz z jego ,,punktu widzenia", gdyż człowiek odbierając wyniki od komputera nadaje im swoją interpretację). Wśród nich jest system, który otrzymał nazwę od nazwiska Boole'a.

Algebra Boole'a ma co najmniej dwa powiązania z maszyną cyfrową.

Po pierwsze, okazało się, że dobrze opisuje sieci zarówno elektryczne, jak i nerwowe, co pozwoliło zobaczyć (po raz pierwszy) podobieństwo jednych do drugich. Jest ono owocnie eksploatowane w projektach SI, zwłaszcza w tym nurcie, który nazywa się konekcjonizmem (connection - połączenie).

Po drugie, istotną rolę w SI odgrywa mechanizacja rozumowań. Na przykład w systemach eksperckich równorzędnymi składnikami są: reprezentacja wiedzy w odpowiedniej bazie danych i mechanizm logiczny, pozwalający na wysnuwanie z tej wiedzy potrzebnych wniosków. Otóż podstawą dla mechanizacji rozumowań jest algebra Boole'a, ponieważ wśród jej interpretacji jest taka, która pozwala rozstrzygać, jak prawdziwość określonych struktur zdaniowych zależy od prawdziwości innych struktur.

Co może mieć wspólnego sieć elektryczna ze strukturami zdaniowymi? To nie jest trudno zobaczyć. Potraktujmy prawdziwość zdania jako odpowiednik impulsu w sieci (elektrycznego, nerwowego itp.), a fałszywość jako odpowiednik braku impulsu.

Wtedy, np. operacja negowania (zdefiniowana w algebrze Boole'a), prowadzi od zdania prawdziwego do fałszywego i odwrotnie, a w sieci mamy urządzenie (zamykające i otwierające obwód), które pozwala przejść od stanu przepływu impulsów do jego braku i odwrotnie. Gdy podwójnie zaneguje się zdanie prawdziwe, dostaje się znowu zdanie prawdziwe (prawo podwójnej negacji), a gdy przy zapalonym świetle dwa razy naciśnie się włącznik, nastąpi powrót do stanu świecenia. Operacji na zdaniach, zwanej koniunkcją lub iloczynem (uzyskiwanej przez "i"), odpowiada w sieciach połączenie szeregowe, a operacji alternatywy, czyli sumy ("lub") - połączenie równoległe.

Takie układy są wykorzystywane w procesorach do obliczeń arytmetycznych, pozostańmy jednak na gruncie logiki. Dzięki algebraizacji rozumowań w algebrze Boole'a można je przeprowadzać w sposób rachunkowy i bez patrzenia na ich sens, biorąc pod uwagę jedynie związki między strukturami będącymi łańcuchami symboli. Tak zaprzęgamy komputer do rozumowań w pełni zmechanizowanych, a zarazem podatnych na usensownienie, gdy pod łańcuchy symboli otrzymane w komputerowym wydruku podłożymy odpowiednie znaczenia.

To zastosowanie, czy lepiej interpretacja, algebry Boole'a nazywa się algebrą logiki. Teraz już wiadomo, na czym polega życzenie, żeby rozbłysła ona w każdej głowie. Wprawdzie jest ona tam w pewien sposób obecna już od urodzenia, skoro według jej praw są kształtowane obwody neuronowe. Lecz nabycie jej na poziomie świadomego przyswojenia sobie praw logicznych to jakby nowy rozbłysk algebry logiki, stąd ta gwiazdkowa metafora w naszej kolędzie.