Mimo wielu publikacji, nie spotkałem się dotąd z próbą matematycznego zamodelowania problemu zamówień publicznych. Tymczasem model ten jest bardzo prosty sprowadza się do badania zmienności funkcji i dostarcza ciekawych wniosków.

W polskich przetargach stosuje się prawie wyłącznie formułę "sumacyjną", która jest projekcją wizji, że jakość i cena są wielkościami niezależnymi. Należy je zatem niezależnie ewaluować na zasadzie porównania z najmniejszą ceną i najlepszą jakością. Zamodelować matematycznie można to najprościej w formule sumacyjnej, gdzie jakość "poprawia" cenę. W formule tej C to cena, Q - jakość, a alfa - waga, z jaką brane są obydwie wartości do formuły:

F=α - (C_min/C) + (1-α)*(Q/Q_max) (1)

Takie podejście wydaje się naturalne. W obszarze zależności cenowej - jakże podkreślanej w orzecznictwie do Ustawy o zamówieniach publicznych - wydaje się, że mamy jednoznaczność, zależność monotoniczną (malejącą). Czyli najtańsze równa się najlepsze (niebieska linia na rys.). I wydaje się, że bezpiecznie poruszamy się w polu ograniczonym punktami (0, Q_max) x (C_min , +Ą). Problem w tym, że tylko się tak wydaje.

Obserwacja wskazuje bowiem, że jakość jest proporcjonalnie związana z ceną. Można te wielkości skorelować liniowo. Wydaje się zatem, że nie do końca prawidłowym założeniem jest rozpatrywanie jakości i ceny jako zmiennych niezależnych. Szczególnie widoczne jest to w przetargach o dużej wartości technicznej, wysokiej jakości, czyli w informatyce, gdzie jakość jest szczególnie ważna. Wzór można by zapisać tak:

Q=Q₀+R*C (2)

I wtedy okazuje się, że owa zależność F(C) nie jest ściśle monotoniczna, jak być powinno. Gdy C rośnie po spadku - jak w przypadku idealnym - mamy minimum w punkcie C₀ > C_min, a następnie wzrost spowodowany czynnikiem jakościowym (czerwona linia). Tak więc F nie jest jednoznaczne. Mamy zatem paradoks. W systemie punktacji obowiązującym w Polsce tę samą ocenę może dostać propozycja tania i słaba pod względem jakości oraz droga i świetna jakościowo!

Jedyną barierą jest górna kwota, jaką może przeznaczyć na przetarg zamawiający. Jeśli zostanie ona ustawiona poniżej C₀ (mała rozpiętość cen) albo R jest małe - paradoks nie wystąpi. Jeśli jednak zostanie ona ustawiona wysoko (duża rozpiętość cen) albo R jest duże, a w IT tak często bywa, zaczynają się kłopoty. Sztuczki z ewaluowaniem jakości technicznej "do najtańszej", odrzucaniem dwóch skrajnych cenowo ofert czy sławetny "samoouwalacz" stosowany przez zamawiających w przetargach są jedynie próbami wyjścia z impasu, gdy - jakimś cudem - najtańsza oferta nie wygrywa. A matematyka, królowa nauk - w odróżnieniu od ludzi - nigdy nie kłamie. Model stosowany w Polsce jest zatem niewłaściwy!

Rozwiązaniem wydaje się stosowana w Unii Europejskiej formuła ilorazowa, która daje w przypadku idealnym po prostu F=Q/C, a w przypadku rzeczywistym F=R + Q₀/C. A więc to, na czym powinno zależeć. Oczywiście, przy założeniu że ewaluacja jakości odbędzie się uczciwie i zgodnie z jednoznacznymi normami.