Mapy na miarę Świata

Globus, jak wielka skórka pomarańczy, która nie może być płaska bez rozerwania na końcach, nie da się przekształcić w płaszczyznę bez zniekształceń. Obecnie, dzięki technikom komputerowym, zniekształcenia te będzie można znacznie zminimalizować.

Globus, jak wielka skórka pomarańczy, która nie może być płaska bez rozerwania na końcach, nie da się przekształcić w płaszczyznę bez zniekształceń. Obecnie, dzięki technikom komputerowym, zniekształcenia te będzie można znacznie zminimalizować.

W roku 1940 US Air Force oszacowały, że tylko niecałe 10% powierzchni świata jest przedstawiona na mapach z wystarczającą dla pilotów szczegółowością. Pomiary lotnicze, podczas i po drugiej wojnie światowej, wypełniły większość luk, a w czasie dwóch ostatnich dekad zalał nas prawdziwy deszcz danych pochodzacych z satelitarnych obserwacji Ziemi. Jednak współczesne atlasy ciągle jeszcze bazują na pomiarach sprzed okresu zastosowania fotografii satelitarnej. Jak dotąd kartografowie nie używali metod nowoczesnej matematyki w połączeniu z przetwarzaniem komputerowym, aby wykorzystać tak wielką liczbę danych.

Jak to się często zdarza, zmianą panującej sytuacji zajął się ktoś zupełnie z zewnątrz. Jeden z twórców teorii chaosu Mitchell Feigenbaum, profesor matematyki i fizyki Uniwersytetu Rockefellera w Nowym Jorku, został doradcą kartograficznej firmy wydawniczej Hammond. Jego zadaniem było zoptymalizowanie procesu komputeryzacji produkcji nowego atlasu. Feigenbaum odrzucił konwencjonalne podejście do komputerowego sporządzania map, w którym komputera używa się przede wszystkim do usuwania opisów z istniejących map i wprowadzania nowych. Zamiast tego, rozpoczął on pracę od stworzenia koncepcji kompleksowego oprogramowania zdolnego do produkcji najbardziej dokładnych map, jakie mogą być zrobione na podstawie dostępnych danych.

Wydawca twierdzi, że otrzymany w ten sposób atlas będzie pierwszym wyprodukowanym całkowicie na podstawie skomputeryzowanej bazy danych, zawierającej numeryczną informację o miliardach punktów z najnowszych satelitarnych zdjęć Ziemi. Skomputeryzowane będzie nie tylko opisywanie map, ale również ich przerysowywanie w różnych skalach. Prawdziwą rewolucję wprowadzono przy sporządzaniu map kontynentów. Odwzorowywanie ich ze zniekształceniem mniejszym, niż kiedykolwiek przedtem, bazuje na idei pochodzącej z początku tego wieku, która obecnie dzięki nowoczesnej matematyce i komputerom stała się możliwa do zastosowania w praktyce. To co mogą wykonać komputery, to zautomatyzować czynności biegłego kartografa. "Chcieliśmy, aby komputer robił samodzielnie wszystko co możliwe, ale bez naruszenia integralności estetyki, z jaką zrobiłby to człowiek" mówi Feigenbaum.

Spłaszczanie kuli ziemskiej

Głównym problemem kartografii jest opracowanie metody, dzięki której można by odzworowywać odległości kulistej powierzchni Ziemi na płaską powierzchnię mapy. Sposób ten, polega na geometrycznym rzutowaniu (projekcji) punktów z kulistej powierzchni Ziemi na płaszczyznę. W projekcjach cylindrycznych równoleżniki przedstawia się jako linie poziome na powierzchni walca, a południki jako linie pionowe. Walec jest następnie rozcinany z boku, a jego rozwinięta powierzchnia stanowi mapę.

Wybór rodzaju projekcji zależy zarówno od przeznaczenia mapy, a także od wielkości obszaru, który ma być przedstawiony. Żadna mapa nie może dokładnie oddać trzech najważniejszych atrybutów danego obszaru: odległości między punktami, powierzchni wewnątrz jego granic ani kształtu. W atlasach, w których głównie prezentuje się znaczne obszary powierzchni Ziemi, a nie jest wymagana precyzja wymienionych atrybutów, najważniejszy problem stanowią zniekształcenia kształtu i odległości. Na mapach w dużej skali różnica między odległością wzdłuż krzywej a odległością na płaszczyźnie jest nieistotna i można nie brać jej pod uwagę. Jednak w w miarę zwiększania się powierzchni prezentowanych obszarów różnica ta rośnie, a wraz z nią także możliwość zniekształceń - na obszarach o średnicy nawet kilkudziesięciu mil musi się uwzględniać zakrzywienie powierzchni Ziemi. Kartograf, przedstawiając koncepcję mapy, musi zdecydować, gdzie zniekształcenia mogą przynieść najmniejsze szkody. W tym właśnie momencie wybór projekcji jest decydujący.

W określonych projektach tworzy się mapy, na których kąty, a zatem i kształty na płaszczźnie są maksymalnie bliskie rzeczywistym. W tych tzw. mapach konforemnych, zniekształcenia dotyczą jedynie odległości między punktami oraz powierzchni obszarów wewnątrz granic. Ich nazwa pochodzi od odwzorowań konforemnych, przy użyciu których są tworzone. (zdefiniowanych za pomocą funkcji analitycznych jednoznacznych, równokątnych i zachowujących zwroty).

Projekcja zaproponowana w 1569 r. przez Gerardusa Mercatora jest konforemną projekcją cylindryczną. Daje ona znaczne zniekształcenia dla równoleżników o dużych wartościach, ale ma tę zaletę, że namiary kompasowe są zgodne ze wszystkimi punktami na mapie. Z tego względu każda droga wzdłuż danego wskazania kompasu jest w projekcji Mercatora linią prostą i to właśnie sprawia, że wciąż stanowi ona podstawę większości map używanych w nawigacji. Nie jest to oczywiście konforemny sposób na pokazanie całej powierzchni Ziemi bez zniekształceń pewnych obszarów.

Inne rodzaje projekcji mają za zadanie pokazanie powierzchni obszarów z zachowaniem ich wzajemnych proporcji. Te "równopolowe" mapy, np. projekcja Petersa, stały się popularne w latach 80. naszego stulecia, dzięki ich właściwości oddawania rzeczywistych proporcji obszarów. Tych cech nie zapewnia projekcja Mercatora, która zmniejsza powierzchnię większości krajów Trzeciego Swiata leżących blisko równika, zwiększa natomiast powierzchnię obszarów podbiegunowych. Jest to niestety konsekwencja dystorsji kształtu.

Najlepszy ze światów

Przyjmując, że najlepsza jest taka mapa, która ma najmniejsze odkształcenia dowolnego rodzaju, Feigenbaum twierdzi, że cała idea "równopolowych" map może być błędna. "Bardzo trudno jest rozstrzygnąć, kiedy obszary są równe", argumentuje. "Jedyną rzeczą, którą mogę ocenić ludzkie oczy jest odległoś liniowa".

Projekcje konforemne wykorzystywane są np. w nowym atlasie Hammonda. Niektóre z nich są znane, jak np. stożkowa projekcja konforemna Lamberta. Rzutuje się w niej szczegóły powierzchni na stożek ścięty ustawiony tak, by przecinać się z powierzchnią Ziemi wzdłuż dwóch kół długości geograficznej wyznaczającej odpowiednio górny i dolny brzeg mapy. Projekcja Lamberta jest stosowana w tworzeniu map pastńw w dużej skali. Z kolei mapy świata wykonywane są za pomocą projekcji Robinsona, będącej kompromisem między mapami konforemnymi a równopolowymi. Oba rodzaje zniekształceń są w niej jednakowe. Jednakże metody tworzenia map kontynentów na użytek nowego atlasu Hamnanda są bardziej nowoczesne, ponieważ wykorzystują więcej niż jeden rodzaj projekcji.

Bazując na fakcie, że dla dowolnie wybranego obszaru na powierzchni Ziemi przyporządkowana jest jakaś projekcja, dająca najlepszą mapę konforemną, Feigenbaum zaprojektował program komputerowy, który na podstawie danych o granicach przedstawianego obszaru oblicza jaka powinna być "optymalna projekcja konforemna", czyli projekcja minimalizująca zniekształcenia każdego rodzaju. Dla przykładu, dokładnoś powstałej w ten sposób mapy Ameryki Południowej wynosi ponad 98%, podczas gdy w innych atlasach jej dokładność jest równa 95%. Mapy Feigenbauma obszarów o regularnych kształtach, takich jak np. Australia, mają bardzo małe zniekształcenia, "natomiast bardziej nieregularne kontynenty, jak Afryka i Ameryka Północna mogą być zniekształcane w ok. 30%. Mapy te są też dwa razy lepsze, niż jakiekolwiek projekcje stosowane do tej pory", twierdzi Feigenbaum.

Ideę optymalnej projekcji konforemnej stworzył w połowie ubiegłego wieku rosyjski matematyk Czebyszew. Jednak dopiero ostatnie osiągnięcia w dziedzinie przetwarzania komputerowego dały moliwość praktycznego zastosowania tej teorii.

W wielkim skrócie metoda ta polega na tym, że: relacja między odległością na powierzchni Ziemi a odległością na mapie jest znana jako współczynnik skali. Na globusie jest on taki sam w każdym punkcie. Jednak na mapach jego wielkość jest inna z powodu zniekształceń, powstających w wyniku spłaszczenia zakrzywionej powierzchni. W ten sposób współczynik skali jest różny w różnych punktach.

"Należy znaleźć taką funkcję analityczną odzworowującą powierzchnię rzeczywistą na mapie, dla której współczynnik skali jest maksymalnie stały", wyjaśnia Feigenbaum. "Rozwiązanie tego problemu sprowadza się do znalezienia współczynnika skali, który jest stały na brzegach obszaru odwzorowanego na mapie". Obliczenie stałego współczynnika skali dostarcza informacji, którą można wprowadzić do wzoru zbioru. RozwiAzanie podpowiada komputerowi, w jaki sposób manipulować danymi reprezentującymi wszystkie punkty mapy, tak by zniekształcenia na całym obszarze były jak najmniejsze.

Wybrana tą metodą projekcja konforemna jest z definicji najlepsza dla badanego obszaru. Staranny wybór obszaru może zredukować zniekształcenia, ale poza tym trudno byloby wskazać jakieś rozwiązanie pozwalające przypuszczać, że istnieją metody lepsze, niż projekcje konforemne. "Wątpię, by było to w ogóle możliwe," twierdzi Feigenbaum, "nie wiem jednak, jak to udowodnić".

W metodzie opisywania map zaprojektowanej przez Feigenbauma używa się komputera podobnie jak pracy człowieka. Stosowany poprzednio proces komputeryzacji posługiwał się metodami siatkowania, które ograniczały etykietę (opis) punktu do skończonej liczby położonej wokół niego. Feigenbaum traktuje przestrzeń wokół punktu jako continuum (zbiór zwarty i spójny) i uwzględnia jego otoczenie z całego nanoszonego na mapę obszaru. System bazuje na prostej idei elektrostatycznej: opisy są sporządzane tak, by działać jak naładowane bity, poruszajace się w polu sprawiającym, że jakby "latają" wzdłu równoleżników w nanoszonych na mapę częściach świata. Inne reguły zachowują przyjęty związek między punktem a opisem i przeciwdziałają zachodzeniu na siebie. "To są molekularne, dynamiczne obliczenia. Każdy z tych elementów nieustannie pulsuje, poszukując jakiejś równowagi" wyjaśnia Feigenbaum.

Fraktale

Inne ludzkie umiejętności zautomatyzowane na potrzeby nowego atlasu stosowane są przy zmianie skali. Dane używane dotworzenia map są fraktalami: im bliżej im się przyglądamy, tym bogatsze ujawniają się struktury. Rodzi to problem, kiedy zwiększać i zmniejszać skalę mapy, ponieważ zmniejszanie czy zwiększanie istniejących granic jest niemoż1liwe. Przechodząc od szczegółowej mapy w dużej skali do mapy w skali mniejszej, linia elementów fraktala zmienia się w bardzo nieregularne pasmo. "Kartograf przyjrzałby się tym bardziej szczegółowym danym, a następnie wykorzystując swą wprawę, wyznaczyłby mniej skomplikowaną krzywą, odpowiednią dla mniejszej skali", wyjaśnia Feigenbaum.

Komputer zachowuje się podobnie. Bada on szczegółowo elementy fraktala i analizuje ich hierarchię w celu określenia, co przedstawiają dane i które punkty są najbardziej istotne. Dla przykładu, na mapie wybrzeża Skandynawii w małej skali, proste wyrównanie brzegów małych fiordów nie jest zbyt odpowiednie. Małe miasteczko, leżące nad brzegiem fiordu, mogłoby na mapie wyglądać na śródlądowe, lecz jeśli program komputerowy zawiera instrukcję, by każde nadbrzeżne miasto pozostawało takim na mapie, niezależnie od jej skali, może on wykreślić krętą linię brzegową.

Przygotowanie tylko jednej części atlasu nie jest zautomatyzowane. Dotyczy to map reliefowych, czyli przedstawiających rzeźbę terenu. Mapy te przygotowuje się fotografując wykonane ręcznie modele reliefu. Dane dla całego świata nie są wystarczająco dokładne, by mogły być wykorzystywane automatycznie. Nie bardzo wiadomo, jak metodami matematycznymi w najlepszy sposób oddać powierzchnię Ziemi. Obszar gór nie jest ani wystarczająco gładki dla klasycznej analizy powierzchni, ani nie jest całkowicie fraktalem. "Cała geometria gór jest niesamowicie interesująca", mówi Feigenbaum, "Nie istnieją obecnie metody matematyczne pozwalające nam zrozumieć powierzchnie, dla których oś normalna zmienia się w specyficzny sposób - powierzchnie, które mają płaskie fragmenty i nagle zmieniają całkowicie swój charakter."

Dla Feigenbauma ten problem jest kolejnym wyzwaniem. Wraz z dalszym rozwojem satelitarnej bazy danych może to oznaczać, że w XXI wieku mapy będą wyglądać zupełnie inaczej. "Jest to potencjał", mówi Feigenbaum, "pozwalający stworzyć prawdziwie cudowne obrazy Ziemi"

W celu komercyjnej reprodukcji treści Computerworld należy zakupić licencję. Skontaktuj się z naszym partnerem, YGS Group, pod adresem [email protected]

TOP 200